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设f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,f"(x)>0,且=β<0,又存在x0,使得f(x0)<0,试证:方程f(x)=0在(一∞,+∞)内有且仅有两个实根.
设f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,f"(x)>0,且=β<0,又存在x0,使得f(x0)<0,试证:方程f(x)=0在(一∞,+∞)内有且仅有两个实根.
admin
2017-07-26
75
问题
设f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,f"(x)>0,且
=β<0,又存在x
0
,使得f(x
0
)<0,试证:方程f(x)=0在(一∞,+∞)内有且仅有两个实根.
选项
答案
先证存在性. 由[*],存在M>0,使得当x>M时,|f’(x)一α|< [*] 于是可知:f(x)在(0,+∞)内单调增加. 任取x∈[M,+∞),f(x)在[M,x]上连续,在(M,x)内可导,由拉格朗日中值定理知,存在点ξ∈(M,x),使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x一M),于是 f(x)>f(M)+[*](x一M)>0. 又存在点x
0
,使得f(x
0
)<0.所以,由介值定理.存在点ξ
1
∈(x
0
,x),使f(ξ
1
)=0. 同理可证,当x<0时,存在点ξ
2
∈(x,x
0
),使得f(ξ
3
)=0. 再证唯一性.(反证法) 假若f(x)=0有三个实根ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
(ξ
1
<ξ
2
<ξ
3
),由洛尔定理,存在η
1
∈(ξ
1
,ξ
2
),η
2
∈(ξ
2
,ξ
3
),使得 f’(η
1
)=f’(η
2
)=0. 再由洛尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
),使f"(η)=0.与题设f"(x)>0矛盾,故f(x)=0在(一∞,+∞)内有且仅有两个实根.
解析
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考研数学三
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