2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f"(x)＞0，且=β＜0，又存在x0，使得f(x0)＜0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．

设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f"(x)＞0，且=β＜0，又存在x0，使得f(x0)＜0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．

admin2017-07-26  46
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f"(x)＞0，且=β＜0，又存在x0，使得f(x0)＜0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．
选项
答案先证存在性． 由[*]，存在M＞0，使得当x＞M时，｜f’(x)一α｜＜ [*] 于是可知：f(x)在(0，+∞)内单调增加． 任取x∈[M，+∞)，f(x)在[M，x]上连续，在(M，x)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在点ξ∈(M，x)，使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x一M)，于是 f(x)＞f(M)+[*](x一M)＞0． 又存在点x0，使得f(x0)＜0．所以，由介值定理．存在点ξ1∈(x0，x)，使f(ξ1)=0． 同理可证，当x＜0时，存在点ξ2∈(x，x0)，使得f(ξ3)=0． 再证唯一性．(反证法) 假若f(x)=0有三个实根ξ1，ξ2，ξ3(ξ1＜ξ2＜ξ3)，由洛尔定理，存在η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，使得 f’(η1)=f’(η2)=0． 再由洛尔定理，存在η∈(η1，η2)，使f"(η)=0．与题设f"(x)＞0矛盾，故f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．
解析
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考研数学三

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