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设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．
设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．
admin
2019-04-22
48
问题
设A是n阶矩阵，A=E+xy
T
，x与y都是n×1矩阵，且y
T
x=2，求A的特征值、特征向量．
选项
答案
令[*]，则B
2
=(xy
T
)(xy
T
)=x(y
T
x)y
T
=2xy
T
=2B，可见B的特征值只能是0或2．因为[*]则r(B)=1，故齐次方程组Bx=0的基础解系由n一1个向量组成，且基础解系是：α
1
=(一y
2
，y
1
，0，…，0)
T
，α
2
=(一y
3
，0，y
1
，…，0)
T
，…，α
n-1
=(一y
n
，0，0，…，y
1
)
T
．这正是B的关于λ=0也是A关于λ=1的n—1个线性无关的特征向量．由于B=2B，对B按列分块，记B=(β
1
，β
2
，…，β
n
)，则B(β
1
，β
2
，…，β
n
)=2(β
1
，β
2
，…，β
n
)，即Bβ
i
=2β
i
，可见α=(x
2
，x
2
，…，x
n
)
T
是B关于λ=2，也就是A关于λ=3的特征向量．那么A的特征值是1(n一1重)和3，特征向量分别是k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
，k
n
α
n
，其中k
1
，k
2
，…，k
n-1
不全为0，k
n
≠0．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rxV4777K
0
考研数学二
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