2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．

设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．

admin2019-04-22  55
问题 设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．
选项
答案令[*]，则B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见B的特征值只能是0或2．因为[*]则r(B)=1，故齐次方程组Bx=0的基础解系由n一1个向量组成，且基础解系是：α1=(一y2，y1，0，…，0)T，α2=(一y3，0，y1，…，0)T，…，αn-1=(一yn，0，0，…，y1)T．这正是B的关于λ=0也是A关于λ=1的n—1个线性无关的特征向量．由于B=2B，对B按列分块，记B=(β1，β2，…，βn)，则B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi，可见α=(x2，x2，…，xn)T是B关于λ=2，也就是A关于λ=3的特征向量．那么A的特征值是1(n一1重)和3，特征向量分别是k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，knαn，其中k1，k2，…，kn-1不全为0，kn≠0．
解析
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考研数学二

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