设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

admin2019-01-22 41

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)﹦x^TAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中
B﹦

(I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换；
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

选项

答案(I)根据已知条件 AB﹦A[*]﹦O，因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值λ﹦0的特征向量，其中 β₁﹦(1，2，1)^T，β₂﹦(－2，1，0)^T，2β₁－β₂﹦(4，3，2)^T，故λ﹦0至少为矩阵A的二重特征值。根据A的主对角元素的和为3可得A有一个特征值为3，因此属于矩阵A的特征值分别为0，0，3。矩阵A是一个实对称矩阵，因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交，可得方程组[*]解得β₃﹦(x₁，x₂，x₃)^T﹦(1，2，－5)^T。故存在正交变换x﹦Qy，其中 [*] 二次型化为f﹦x^TAx﹦y^T[*]y﹦3y²₃。 (Ⅱ)由于Q^TAQ﹦[*]，因此 [*] 所以该二次型的具体表达式为f﹦[*](x₁²﹢ 4x₂²﹢25 x₃²﹢4x₁x₂﹣10 x₁x₃﹣20 x₂x₃) 本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值，利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量，从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

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