设二次型f(x1,x2,x3)﹦xTAx,其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O,其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形,并求所做的正交变换; (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

admin2019-01-22  29

问题 设二次型f(x1,x2,x3)﹦xTAx,其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O,其中
B﹦
(I)用正交变换化二次型为标准形,并求所做的正交变换;
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

选项

答案(I)根据已知条件 AB﹦A[*]﹦O, 因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值λ﹦0的特征向量,其中 β1﹦(1,2,1)T,β2﹦(-2,1,0)T,2β1-β2﹦(4,3,2)T,故λ﹦0至少为矩阵A的二重特征值。 根据A的主对角元素的和为3可得A有一个特征值为3,因此属于矩阵A的特征值分别为0,0,3。矩阵A是一个实对称矩阵,因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交,可得方程组[*]解得β3﹦(x1,x2,x3)T﹦(1,2,-5)T。 故存在正交变换x﹦Qy,其中 [*] 二次型化为f﹦xTAx﹦yT[*]y﹦3y23。 (Ⅱ)由于QTAQ﹦[*],因此 [*] 所以该二次型的具体表达式为f﹦[*](x12﹢ 4x22﹢25 x32﹢4x1x2﹣10 x1x3﹣20 x2x3) 本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值,利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量,从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。

解析
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