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设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
admin
2019-01-22
46
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)﹦x
T
Ax，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中
B﹦
(I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换；
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
选项
答案
(I)根据已知条件 AB﹦A[*]﹦O， 因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值λ﹦0的特征向量，其中 β
1
﹦(1，2，1)
T
，β
2
﹦(－2，1，0)
T
，2β
1
－β
2
﹦(4，3，2)
T
，故λ﹦0至少为矩阵A的二重特征值。 根据A的主对角元素的和为3可得A有一个特征值为3，因此属于矩阵A的特征值分别为0，0，3。矩阵A是一个实对称矩阵，因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交，可得方程组[*]解得β
3
﹦(x
1
，x
2
，x
3
)
T
﹦(1，2，－5)
T
。 故存在正交变换x﹦Qy，其中 [*] 二次型化为f﹦x
T
Ax﹦y
T
[*]y﹦3y
2
3
。 (Ⅱ)由于Q
T
AQ﹦[*]，因此 [*] 所以该二次型的具体表达式为f﹦[*](x
1
2
﹢ 4x
2
2
﹢25 x
3
2
﹢4x
1
x
2
﹣10 x
1
x
3
﹣20 x
2
x
3
) 本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值，利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量，从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。
解析
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考研数学一
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