设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

admin2019-01-22 33

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)﹦x^TAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中
B﹦

(I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换；
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

选项

答案(I)根据已知条件 AB﹦A[*]﹦O，因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值λ﹦0的特征向量，其中 β₁﹦(1，2，1)^T，β₂﹦(－2，1，0)^T，2β₁－β₂﹦(4，3，2)^T，故λ﹦0至少为矩阵A的二重特征值。根据A的主对角元素的和为3可得A有一个特征值为3，因此属于矩阵A的特征值分别为0，0，3。矩阵A是一个实对称矩阵，因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交，可得方程组[*]解得β₃﹦(x₁，x₂，x₃)^T﹦(1，2，－5)^T。故存在正交变换x﹦Qy，其中 [*] 二次型化为f﹦x^TAx﹦y^T[*]y﹦3y²₃。 (Ⅱ)由于Q^TAQ﹦[*]，因此 [*] 所以该二次型的具体表达式为f﹦[*](x₁²﹢ 4x₂²﹢25 x₃²﹢4x₁x₂﹣10 x₁x₃﹣20 x₂x₃) 本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值，利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量，从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB﹦O，其中 B﹦ (I)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

考研数学一

α1=(1，2，一1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，α1，α2，α3生成的向量空间为2维空间，则，a=______．

已知齐次方程组(I)解都满足方程x1+x2+x3=0，求a和方程组的通解．

已知线性方程组有解(1，一1，1，一1)T．(1)用导出组的基础解系表示通解；(2)写出x2=x3的全部解．

已知平面上三条直线的方程为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

设随机变量且P{|X|≠|Y|}=1．(I)求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X-Y，讨论U与V的独立性．

设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(一3，4)，则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_____．

设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．

求曲线在yOz平面上的投影方程．

求下列曲面积分，其中∑为由区面y＝x2＋z2与平面y＝1，y＝2所围立体表面的外侧．

以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．

Whatwastheoriginoftheoilwhichnowdrivesourmotorcarsandaircraft?Scientistsare【C1】aboutthe【C2】ofcoal,

注射用水应于制备后几小时内使用

开放性气胸的紧急处理应为

A．AUGB．GUAC．UAA、UGA、UAGD．AUG、UGA、UAGE．AAU、AGU、GAU无意义密码子是

城市交通系统中、的交通行为的运作是指()。

2011年1—9月，全国造船完工5101万载重吨，同比增长18．3％，9月当月完工786万载重吨，环比增长67．2％，新承接船舶订单规模2902万载重吨，同比下降42．8％，手持船舶订单规模16886万载重吨，同比下降13．8％，比2010年底下降1

《四川省世界遗产保护条例》关于世界遗产生态环境的保护的规定是怎样的?

AJustaschildrentheworldoverBlikeChristmasrooming,CadultssolikeChristmaseveningwhenDpeaceandcalmreturntotheh

Whichstatementbestdescribestheman?

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已知平面上三条直线的方程为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

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设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(一3，4)，则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_____．

设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．

求曲线在yOz平面上的投影方程．

求下列曲面积分，其中∑为由区面y＝x2＋z2与平面y＝1，y＝2所围立体表面的外侧．

以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．

Whatwastheoriginoftheoilwhichnowdrivesourmotorcarsandaircraft?Scientistsare【C1】______aboutthe【C2】______ofcoal,

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