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设有级数 (Ⅰ)求此级数的收敛域; (Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞-y=-1; (Ⅲ)求微分方程y〞-y=-1的通解,并由此确定该级数的和函数y(χ).
设有级数 (Ⅰ)求此级数的收敛域; (Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞-y=-1; (Ⅲ)求微分方程y〞-y=-1的通解,并由此确定该级数的和函数y(χ).
admin
2017-11-09
67
问题
设有级数
(Ⅰ)求此级数的收敛域;
(Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞-y=-1;
(Ⅲ)求微分方程y〞-y=-1的通解,并由此确定该级数的和函数y(χ).
选项
答案
(Ⅰ)对于任意χ,有 [*] 所以收敛域为(-∞,+∞). (Ⅱ)应用幂级数和函数的性质证明: y(χ)=2+[*],χ∈(-∞,+∞) [*] 即y(χ)满足微分方程y〞-y=-1. (Ⅲ)y〞-y=0的特征方程r
2
-1=0的特征根为r=±1,于是对应齐次方程的通解为Y=C
1
e
χ
+C
2
e
-χ
,又特解为y
*
=-1,故y〞-y=-1的通解为y=C
1
e
χ
+C
2
e
-χ
+1. 又幂级数的和函数y(χ)满足y〞(χ)-y(χ)=-1,且y(0)=2,y′=(0)=0,则y(χ)即为微分方程y〞-y=-1满足初值条件y|
χ=0
=2,y′|
χ=0
=0的特解, 即[*]则C
1
=C
2
=[*]. 所以和函数y(χ)=[*]+1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/s6X4777K
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考研数学三
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