设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)．使得｜f’’(ξ)｜≥｜f(b)-f(a)｜．

admin2018-05-22 24

问题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)．使得
｜f’’(ξ)｜≥

｜f(b)-f(a)｜．

选项

答案由泰勒公式得 [*] 两式相减得f(b)-f(a)=[*][f’’(ξ₁)～f’’(ξ₂)]，取绝对值得｜f(b)-f(a)｜≤[*]～[｜f’’(ξ₁)｜+｜(ξ₂)｜]． (1)当｜f’’(ξ₁)｜≥｜f’’(ξ₂)｜时，取ξ=ξ₁，则有｜f’’(ξ)｜≥[*]｜f(b)-f(a)｜； (2)当｜f’’(ξ₁)｜＜｜f’’(ξ₂)｜时，取ξ=ξ₂，则有｜f’’(ξ)｜≥[*]｜f(b)-f(a)｜.

解析

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