2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g’(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g’(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使

admin2022-06-19  41
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g’(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使
选项
答案先找出辅助函数F(x)．下面用凑导数法求之．将待证等式中的ξ改为x，式①化为 f(x)[g(b)一g(x)]一g’(x)[f(x)一f(a)]=0，② 即 [f(x)一f(a)]’[g(b)一g(x)]+[f(x)一f(a)]．[g(6)一g(x)]’=0， 亦即 {[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)])’一0． 因而应作 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]． 令 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]． 下面对F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有 F(a)=0，F(b)=0． 又F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0， 即 f’(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)一f(a)]g’(ξ)=0． 由g’＜(ξ)≠0得到 [*]
解析
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考研数学三

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