设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0．求证：如果f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．

admin2017-05-10 89

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0．求证：如果f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．

选项

答案因[*]，结合f(0)=0，故只需考察[*] 是否在(0，1]上有取正值的点．因f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在x₀∈(0，1)使f(x₀)≠0，即[*]．设[*]，则F(x)在[0，x₀]上连续，在(0，x₀]内可导，且F(0)=0，F(x₀)＞0。由拉格朗日中值定理知[*]，使 [*]

解析

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考研数学三

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