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  3. 已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化为y12+y22一2y32，又A*α=α，其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，α=(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化为y12+y22一2y32，又A*α=α，其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，α=(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

admin2020-10-21  41
问题 已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化为y12+y22一2y32，又A*α=α，其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，α=(1，1，1)T，求此二次型的表达式．
选项
答案因为二次型f=xTAx经正交变换化为y12+y22—23y2，所以矩阵A的特征值分别为1， 1，一2，从而｜A｜=一2，将A*α=α两端左乘矩阵A，得AA*α=Aα，由AA*=｜A｜E得 Aα=—2α，故α=(1，1，1)T是矩阵A的特征值一2对应的特征向量． 设矩阵A的特征值1对应的特征向量α1=(x1，x2，x3)T，因为A是对称矩阵，所以 αTα1=x1+x2+x3=0， 取α11=(—1，一1，2)T，α12=(1，一1，0)T，则α11,α12是矩阵A的特征值1对应的特征向 量，且正交． 将α11,α12,α单位化，得 [*] 取P=(β1，β2，β3)=[*]，则P是正交矩阵，且 P-1AP=PTAP=A=[*] 所以 A=PAP-1=PAPT=[*] 故二次型的表达式为f=xTAx=一2x1x2一2x1x3—2x2x3．
解析
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考研数学二

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