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如图13—2,设单位圆χ2+y2=1上点M(χ0,y0)处的切线L与抛物线y=χ2-2围成的图形的面积S达到最小.求点M的坐标和切线L的方程.
如图13—2,设单位圆χ2+y2=1上点M(χ0,y0)处的切线L与抛物线y=χ2-2围成的图形的面积S达到最小.求点M的坐标和切线L的方程.
admin
2018-06-12
72
问题
如图13—2,设单位圆χ
2
+y
2
=1上点M(χ
0
,y
0
)处的切线L与抛物线y=χ
2
-2围成的图形的面积S达到最小.求点M的坐标和切线L的方程.
选项
答案
设切线L的方程为y=kχ-b,其中b>0(从图形知,当面积S最小时,点M应位于单位圆的下半圆上,故可作以上假设),则L与抛物线交点A和B的横坐标χ
1
和χ
2
应满足方程组 [*] 于是,L与抛物线所围成图形的面积 [*] 因为[*] 于是χ
1
2
+χ
1
χ
2
+χ
2
2
=[*]=2-b+k
2
. 代入,即得 [*] 从而,S与2-b+[*]在同一点上取得最小值,现考虑函数f=2-b+[*]k
2
. 单位圆χ
2
+y
2
=1在点M(χ
0
,y
0
)处的切线L的方程是 χχ
0
+yy
0
=1[*] 即[*], 代入f的表达式得 f=2-b+[*][(b-2)
2
+3]. 于是minf=f|
b=2
=[*]. 对应的y
0
满足[*], 与y
0
相应的y
0
±[*]. 即点M的坐标为[*],过M的切线L的方程为 [*]=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sTg4777K
0
考研数学一
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