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设α,β均为三维单位列向量,并且αTβ=0,若A=ααT+ββT,则必有非零列向量x,使Ax=0,并且A与Λ相似,写出对角矩阵A.
设α,β均为三维单位列向量,并且αTβ=0,若A=ααT+ββT,则必有非零列向量x,使Ax=0,并且A与Λ相似,写出对角矩阵A.
admin
2019-12-26
14
问题
设α,β均为三维单位列向量,并且α
T
β=0,若A=αα
T
+ββ
T
,则必有非零列向量x,使Ax=0,并且A与Λ相似,写出对角矩阵A.
选项
答案
因为α.β为单位向量,且α
T
β=0,故[*]的秩为2,从而有x≠0,使 [*] 即α
T
x=0,β
T
x=0,于是有 Ax=(αα
T
+ββ
T
)x=αα
T
x+ββ
T
x=0. 又 Aa=(αα
T
+ββ
T
)α=αα
T
α+ββ
T
α=α, Aβ=(αα
T
+ββ
T
)β=αα
T
β+ββ
T
β=β。 因此,A的特征值为1,1,0,其对应的特征向量为α,β,x,且α,β,x线性无关,故存在可逆矩阵P=(α,β,x),使 [*]
解析
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考研数学三
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