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  3. 设f(x)可导，证明：f(x)的任意两个零点之间的函数f(x)+f′(x)一定有零点．

设f(x)可导，证明：f(x)的任意两个零点之间的函数f(x)+f′(x)一定有零点．

admin2020-05-02  22
问题 设f(x)可导，证明：f(x)的任意两个零点之间的函数f(x)+f′(x)一定有零点．
选项
答案不妨设f(x)的两个零点为a，b，则f(a)=f(b)=0，且a＜b．令F(x)－exf(x)，由f(x)可导，得F(x)=exf(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=eaf(a)=0，F(b)=ebf(b)=0．由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0．而由 F′(x)－exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)] 得 F′(ξ)=eξf(ξ)+′(ξ)]=0 所以存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)+f′(ξ)=0，因此f(x)的两个零点之间一定存在f(x)+f′(x)的零点．
解析
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考研数学一

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