设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

admin2021-01-19 102

问题设二次型f(x₁,x₂,x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)² +(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)² ,
记

若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁² +y₂²

选项

答案记A=2αα^T +ββ^T ,由于α,β正交，则有α^Tβ=β^Tα=0，又α,β为单位向量，则‖α‖=1，于是α^Tα=1，同理β^Tβ=1。因为r(A)=r(2αα^T +ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2＜3，所以，｜A｜=0，故0是A的特征值。因为Aα=(2αα^T +ββ^T)α=2α，所以2是A的特征值。因为Aβ=(2αα^T +ββ^T)β=β,所以1是A的特征值。于是A的特征值为2,1,0。因此f在正交变换下可化为标准行2y₁²+y₂²

解析

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