设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

admin2021-01-19 68

问题设二次型f(x₁,x₂,x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)² +(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)² ,
记

若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁² +y₂²

选项

答案记A=2αα^T +ββ^T ,由于α,β正交，则有α^Tβ=β^Tα=0，又α,β为单位向量，则‖α‖=1，于是α^Tα=1，同理β^Tβ=1。因为r(A)=r(2αα^T +ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2＜3，所以，｜A｜=0，故0是A的特征值。因为Aα=(2αα^T +ββ^T)α=2α，所以2是A的特征值。因为Aβ=(2αα^T +ββ^T)β=β,所以1是A的特征值。于是A的特征值为2,1,0。因此f在正交变换下可化为标准行2y₁²+y₂²

解析

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考研数学二

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(1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(2)证明可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且并
求微分方程y"+4y’+4y=e-2x的通解．
已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．
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(1997年)设y＝y(χ)由所确定求．

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