2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1。

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1。

admin2019-06-28  65
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。
证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1。
选项
答案由(I)中结果知，当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。 设φ(x)=f(x)一e－x，则 φ(0)=0，φ’(x)=f’(x)+e－x=[*]e－x，当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有 f(x)≥e－x。 综上所述，当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立。
解析
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考研数学二

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