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设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1。
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1。
admin
2019-06-28
47
问题
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f
’
(x)+f(x)一
∫
0
x
f(t)dt=0。
证明:当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1。
选项
答案
由(I)中结果知,当x≥0时,f
’
(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1。 设φ(x)=f(x)一e
-x
,则 φ(0)=0,φ
’
(x)=f
’
(x)+e
-x
=[*]e
-x
,当x≥0时,φ
’
(x)≥0,即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0,即有 f(x)≥e
-x
。 综上所述,当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立。
解析
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考研数学二
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