[2004年] 设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )．

admin2019-05-10 73

问题 [2004年] 设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )．

选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

答案A

解析充分利用A_m×nB_n×s=O的两个常用结论：秩(A)+秩(B)≤n及B的每一列向量均为AX=0的解向量，A的每一行向量均为X^TB=0的解向量求之．
解一  因AB=O，则B的每列均为AX=0的解，而B≠O，则AX=0有非零解，从而A的列向量组线性相关．又A的行向量均为X^TB=0的解，而A≠0，故X^TB=0有非零解，从而B的行向量组线性相关．仅(A)入选．
解二  设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵．由AB=O及命题2．2．3．1(4)知，秩(A)+秩(B)≤n，而A≠O，B≠O，必有秩(A)≥1，秩(B)≥1，从而秩(A)＜n，秩(B)＜n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．仅(A)入选．
解三  设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵．因A≠O，B≠O，且AB=O．由命题2．2．3．1(4)得到秩(A)＜n，秩(B)＜n，故
(1)A的列秩=秩(A)＜n，即A的列向量组线性相关(见命题2．3．2．1(2))；
(2)B的行秩=秩(B)＜n，即B的行向量组线性相关．仅(A)入选．

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