2. 考研
  3. 若f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f(a)＜0，f(b)＜0，∫abf(x)dx=0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使f”(ξ)＜0．

若f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f(a)＜0，f(b)＜0，∫abf(x)dx=0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使f”(ξ)＜0．

admin2022-06-04  25
问题 若f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f(a)＜0，f(b)＜0，∫abf(x)dx=0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使f”(ξ)＜0．
选项
答案由f(A)＜0，f(B)＜0，∫abf(x)dx=0知，存在一点c(a＜c＜b)，使f(C)＞0(否则∫abf(x)dx＜0)． 在区间(a，c)和(c，b)上应用拉格朗日中值定理．存在x1(a，c)，x2∈(c，b)，使 f(C)-f(A)=f’(x1)(c-a)＞0， a＜x1＜c f(B)-f(C)=f’(x2)(b-c)＞0， c＜x2＜b 故有f’(x1)＞0，f’(x2)＜0． 在区间[x1，x2]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x1，x2)[*](a，b)，使 f’(x2)-f’(x1)=f”(ξ)(x2-x1)＜0 所以f”(ξ)＜0．
解析
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考研数学三

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