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  3. 设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2013-04-04  101
问题 设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案必要性．设BTAB为正定矩阵，按定义V x≠0，恒有xT(BTAB)x>0．即V x≠0，恒有(Bx)TA(Bx)>0．即V x≠0，恒有Bx≠0．齐次线性方程组Bx=0只有零解，故r(B)=n． 充分性．因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵． 若r(B)=n，则齐次方程组Bx=0 有零解，那么V x≠0必有Bx≠0． 又A为正定矩阵，所以对Bx≠0，恒有(Bx)TA(Bx)>0． 即当x≠0时，xT(BTAB)x>0，故BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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