2. 考研
  3. 设f(x，y)与ψ(x，y)均为可微函数，且ψ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件ψ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是

设f(x，y)与ψ(x，y)均为可微函数，且ψ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件ψ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是

admin2021-01-19  89
问题 设f(x，y)与ψ(x，y)均为可微函数，且ψ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件ψ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是
选项 A、若f’x(x0，y0)＝0，则f’y(x0，y0)＝0．  
B、若f’x(x0，y0)＝0，则f’y(x0，y0)≠0．
C、若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)一0．  
D、若f’x∥(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0．
答案D
解析 [详解1]  构造拉格朗日函数
    F(x，y)＝f(x，y)＋λψ(x，y)．
令
若(x0，y0)为极值点，则(x0，y0)为上面方程组的解，即有
f’y(x0，y0)＋λψ’y(x0，y0)＝0．

代入第一个方程得

若f’x(x0，y0)≠0，则必有f’y(x0，y0)≠0，故应选(D)．
[详解2]ψ’y≠0，由隐函数存在性定理，ψ(x，y)＝0确定y＝y’(x)，且。
此时x0为一元函数f(x，y(x))的极值点，从而有，
即在(x0，y0)有
，
从而f’x(x0，y0)≠0f’y(xx，y0)≠0．
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考研数学二

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