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设f(x,y)与ψ(x,y)均为可微函数,且ψ’(x,y)≠0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件ψ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是
设f(x,y)与ψ(x,y)均为可微函数,且ψ’(x,y)≠0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件ψ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是
admin
2021-01-19
65
问题
设f(x,y)与ψ(x,y)均为可微函数,且ψ’(x,y)≠0.已知(x
0
,y
0
)是f(x,y)在约束条件ψ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是
选项
A、若f’
x
(x
0
,y
0
)=0,则f’
y
(x
0
,y
0
)=0.
B、若f’
x
(x
0
,y
0
)=0,则f’
y
(x
0
,y
0
)≠0.
C、若f’
x
(x
0
,y
0
)≠0,则f’
y
(x
0
,y
0
)一0.
D、若f’
x
∥(x
0
,y
0
)≠0,则f’
y
(x
0
,y
0
)≠0.
答案
D
解析
[详解1] 构造拉格朗日函数
F(x,y)=f(x,y)+λψ(x,y).
令
若(x
0
,y
0
)为极值点,则(x
0
,y
0
)为上面方程组的解,即有
f’
y
(x
0
,y
0
)+λψ’
y
(x
0
,y
0
)=0.
代入第一个方程得
若f’
x
(x
0
,y
0
)≠0,则必有f’
y
(x
0
,y
0
)≠0,故应选(D).
[详解2]ψ’
y
≠0,由隐函数存在性定理,ψ(x,y)=0确定y=y’(x),且
。
此时x
0
为一元函数f(x,y(x))的极值点,从而有
,
即在(x
0
,y
0
)有
,
从而f’
x
(x
0
,y
0
)≠0f’
y
(x
x
,y
0
)≠0.
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