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设f(x，y)与ψ(x，y)均为可微函数，且ψ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件ψ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是
设f(x，y)与ψ(x，y)均为可微函数，且ψ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件ψ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是
admin
2021-01-19
50
问题
设f(x，y)与ψ(x，y)均为可微函数，且ψ’(x，y)≠0．已知(x
0
，y
0
)是f(x，y)在约束条件ψ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是
选项
A、若f’
x
(x
0
，y
0
)＝0，则f’
y
(x
0
，y
0
)＝0．
B、若f’
x
(x
0
，y
0
)＝0，则f’
y
(x
0
，y
0
)≠0．
C、若f’
x
(x
0
，y
0
)≠0，则f’
y
(x
0
，y
0
)一0．
D、若f’
x
∥(x
0
，y
0
)≠0，则f’
y
(x
0
，y
0
)≠0．
答案
D
解析
[详解1] 构造拉格朗日函数
F(x，y)＝f(x，y)＋λψ(x，y)．
令
若(x
0
，y
0
)为极值点，则(x
0
，y
0
)为上面方程组的解，即有
f’
y
(x
0
，y
0
)＋λψ’
y
(x
0
，y
0
)＝0．
代入第一个方程得
若f’
x
(x
0
，y
0
)≠0，则必有f’
y
(x
0
，y
0
)≠0，故应选(D)．
[详解2]ψ’
y
≠0，由隐函数存在性定理，ψ(x，y)＝0确定y＝y’(x)，且
。
此时x
0
为一元函数f(x，y(x))的极值点，从而有
，
即在(x
0
，y
0
)有
，
从而f’
x
(x
0
，y
0
)≠0f’
y
(x
x
，y
0
)≠0．
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