设Q(x,y)在Oxy平面有一阶连续偏导数,积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.t 恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy, (*) 求Q(x,y).

admin2018-11-21  27

问题 设Q(x,y)在Oxy平面有一阶连续偏导数,积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.t
恒有    ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,    (*)
求Q(x,y).

选项

答案首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得[*](2xy)=2x.对x积分得Q(x,y)=x2+φ(y),下面由(*)定出φ(y),为此就要求(*)中的曲线积分,得到φ(y)满足的关系式.再求φ(y). 通过求原函数计算积分: 2xydx+[x2+φ(y)]dy=d[x2y+∫0yφ(s)ds]. 由(*)式,得[x2y+∫0yφ(s)ds]|(0,0)(t,1)=[x2y+∫0yφ(s)ds]|∫(0,0)(1,t), 即 t2+∫01φ(s)ds=t+∫0tφ(s)ds ([*]t). 求导得 2t=1+φ(t) ([*] t),即 φ(t)=2t一1,易验证它满足上式. 因此 Q(x,y)=x2+φ(y)=x2+2y一1.

解析
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