设f(x)为连续函数，F(x)=∫0xf(t)dt,证明：若f(x)为奇函数，则f(x)的一切原函数均为偶函数；若f(x)为偶函数，则有且仅有一个原函数为奇函数。

admin2021-07-15 81

问题设f(x)为连续函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt,证明：
若f(x)为奇函数，则f(x)的一切原函数均为偶函数；若f(x)为偶函数，则有且仅有一个原函数为奇函数。

选项

答案f(x)的一切原函数可以表示为∫₀^xf(t)dt+C的形式，若f(x)为奇函数，由第一问得知，∫₀^xf(t)dt为偶函数，故∫₀^xf(t)dt+C都是偶函数，C为任意常数。若f(x)为偶函数，由第一问得知∫₀^xf(t)dt为奇函数，f(x)的一切原函数∫₀^xf(t)dt+C当中，当且仅当C=0时为奇函数，故偶函数f(x)的原函数中仅有一个为奇函数。

解析

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