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设f(x)为连续函数,F(x)=∫0xf(t)dt,证明: 若f(x)为奇函数,则f(x)的一切原函数均为偶函数;若f(x)为偶函数,则有且仅有一个原函数为奇函数。
设f(x)为连续函数,F(x)=∫0xf(t)dt,证明: 若f(x)为奇函数,则f(x)的一切原函数均为偶函数;若f(x)为偶函数,则有且仅有一个原函数为奇函数。
admin
2021-07-15
72
问题
设f(x)为连续函数,F(x)=∫
0
x
f(t)dt,证明:
若f(x)为奇函数,则f(x)的一切原函数均为偶函数;若f(x)为偶函数,则有且仅有一个原函数为奇函数。
选项
答案
f(x)的一切原函数可以表示为∫
0
x
f(t)dt+C的形式,若f(x)为奇函数,由第一问得知,∫
0
x
f(t)dt为偶函数,故∫
0
x
f(t)dt+C都是偶函数,C为任意常数。 若f(x)为偶函数,由第一问得知∫
0
x
f(t)dt为奇函数,f(x)的一切原函数∫
0
x
f(t)dt+C当中,当且仅当C=0时为奇函数,故偶函数f(x)的原函数中仅有一个为奇函数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/smy4777K
0
考研数学二
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