设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一l,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

admin2019-01-19  35

问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一l,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。
验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

选项

答案由Aα11得A2α1=Aα11,依次递推,则有A3α11,A5α11,故 βα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α11=一2α1, 即α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量。 由关系式B=A5一4A3+E及A的三个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2,μ2=1,μ3=1。 设α2,α3为B的属于μ23=1的两个线性无关的特征向量,又由A为对称矩阵,则B也是对称矩阵,因此α1与α12正交,即α1Tα2=0,α1Tα3=0。 因此α23可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解,即 (1,一1,1)[*]=0, 得其基础解系为[*],故可取α2=[*] β的全部特征向量为k1[*],其中k1≠0,k2,k3不同时为零。

解析
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