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已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换χ=Oy,把f(χ1,χ2,χ3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换χ=Oy,把f(χ1,χ2,χ3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0
admin
2017-06-26
46
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=(1-a)χ
1
2
+(1-a)χ
2
2
+2χ
3
2
+2(1+a)χ
1
χ
2
的秩为2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换χ=Oy,把f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化成标准形;
(Ⅲ)求方程f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=0的解.
选项
答案
(Ⅰ)由于二次型f的秩为2,即对应的矩阵A=[*]的秩为2, 所以有[*]=-4a=0,得a=0. (Ⅱ)当a=0时,A=[*],计算可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0.解齐次线性方程组(2E-A)χ=0,得A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1,1,0)
T
,η
2
=(0,0,1)
T
解齐次线性方程组(0E-A)χ=0,得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 η
3
=(-1,1,0)
T
易见η
1
,η
2
,η
3
两两正交.将η
1
,η
2
,η
3
单位化得A的标准正交的特征向量为 e
1
=[*](1,1,0)
T
,e
2
=(0,0,1)
T
,e
3
=[*](-1,1,0)
T
取Q=(e
1
,e
2
,e
3
),则Q为正交矩阵. 令X=Qy,得f的标准形为 f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
2
2
(Ⅲ)在正交变换X=Qy下,f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=0化成2y
1
2
+2y
2
2
=0,解之得y
1
=y
2
=0,从而 χ=[*]=y
3
e
3
=k(-1,1,0)
T
,其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YVH4777K
0
考研数学三
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