首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换χ=Oy,把f(χ1,χ2,χ3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=(1-a)χ12+(1-a)χ22+2χ32+2(1+a)χ1χ2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换χ=Oy,把f(χ1,χ2,χ3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(χ1,χ2,χ3)=0
admin
2017-06-26
51
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=(1-a)χ
1
2
+(1-a)χ
2
2
+2χ
3
2
+2(1+a)χ
1
χ
2
的秩为2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换χ=Oy,把f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化成标准形;
(Ⅲ)求方程f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=0的解.
选项
答案
(Ⅰ)由于二次型f的秩为2,即对应的矩阵A=[*]的秩为2, 所以有[*]=-4a=0,得a=0. (Ⅱ)当a=0时,A=[*],计算可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0.解齐次线性方程组(2E-A)χ=0,得A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1,1,0)
T
,η
2
=(0,0,1)
T
解齐次线性方程组(0E-A)χ=0,得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 η
3
=(-1,1,0)
T
易见η
1
,η
2
,η
3
两两正交.将η
1
,η
2
,η
3
单位化得A的标准正交的特征向量为 e
1
=[*](1,1,0)
T
,e
2
=(0,0,1)
T
,e
3
=[*](-1,1,0)
T
取Q=(e
1
,e
2
,e
3
),则Q为正交矩阵. 令X=Qy,得f的标准形为 f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
2
2
(Ⅲ)在正交变换X=Qy下,f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=0化成2y
1
2
+2y
2
2
=0,解之得y
1
=y
2
=0,从而 χ=[*]=y
3
e
3
=k(-1,1,0)
T
,其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YVH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定a、β、γ和此方程的通解.
设向量组(Ⅰ)a1,a2,…,as,其秩为r1,向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βs,其秩为r2,且βi(i:1,2,…,s)均可以由a1,…,as线性表示,则().
设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有().
设矩阵A=,且|A|=-1.又设A的伴随矩阵A*,属于λ0的特征向量为a=(-1,-1,1)T,求a,b,c及λ0的值.
求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3,为标准形.
二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_________.
设函数f(x)在[a,b]上满足a≤f(x)≤b,|f’(x)|≤q<1,令un=f(un-1),n=1,2,3,…,u0∈[a,b],证明:(un+1-un)绝对收敛.
设曲线与直线y=mx(m>0)所围图形绕x轴旋转一周与绕Y轴旋转一周所得旋转体体积相等,则m=___________.
设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导函数y=f’(x)的曲线如图所示,则f(x)有
曲线r=1+cosθ的全长为_____.
随机试题
葡萄胎随访时必须进行的检查是
上颌磨牙进行全冠修复时,为避免食物嵌塞应有哪种观念A.生物力学B.生物材料学C.动态D.静态E.形态学
患儿,10个月,因发热,咳嗽,惊厥来院就诊,体检:体温39.8℃,咽充血,前囟平。该患儿惊厥的原因可能是
本题涉及土地增值税法及企业所得税法。府城房地产开发公司为内资企业,公司于2015年1月—2018年2月开发“东丽家园”住宅项目,发生相关业务如下:(1)2015年1月通过竞拍获得一宗国有土地使用权,合同记载总价款17000万元,并规定2015年3月1日动
读图文材料。葡萄酒用新鲜葡萄或葡萄汁酿造而成。近年来。我国葡萄酒产量及消费量快速增长。据图文材料分析。影响葡萄酒产业布局最主要的一组区位因素是()。
设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导,且g(0)=1.求f’(x);
Imeanttogiveyouthisbooktoday,butIforgot.
A、Peoplecansurviveifluckyenough.B、Thechanceisverysmall.C、Theycanbeprevented.D、Thepossibilitycanbeignored.B由句
Directions:Inthispart,youwillhave15minutestogooverthepassagequicklyandanswerthequestionsonAnswerSheet1.Fo
Itisessentialtobuildupyourconfidence____________(如果你想在一生中有所成就的话).
最新回复
(
0
)