设n阶矩阵A，B可交换、即AB＝BA，且A有n个互不相同的特征值．证明： (1)A的特征向量都是B的特征向量； (2)B相似于对角矩阵．

admin2017-06-26 54

问题设n阶矩阵A，B可交换、即AB＝BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：
(1)A的特征向量都是B的特征向量；
(2)B相似于对角矩阵．

选项

答案由于A有n个互不相同特征值，故A有n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)成立，故只需证明(1)．下证(1)：设α为A的特征向量，则有数λ使Aα＝λα，两端左乘B，并利用AB＝BA，得A(Bα)＝λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，因方程组(λE－A)χ＝0的解空间为1维的，故有数μ，使Bα＝μα，故α亦为B的特征向量；若Bα＝0，则Bα＝0α，即α为B的属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量，由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量．

解析

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考研数学三

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