2. 考研
  3. 设αi=[αi1，αi2，…，αin]T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设αi=[αi1，αi2，…，αin]T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-05-16  37
问题 设αi=[αi1，αi2，…，αin]T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而[*]，由[*]得α1Tβ=α2Tβ=…=αrTβ=0．因而βTα1=βTα2=…=βTαr=0．设 k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0． ① 在上式两边左乘βT，利用βTαi=0(i=1，2，…，r)，得 k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=kβTβ=0， 但β≠0，所以βTβ=b12+b22+…+bn2＞0，于是k=0．代入式①得k1α1+k2α2+…+krαr=0． 但α1，α2，…，αr线性无关，所以k1=k2=…=kr=0，故α1，α2，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学一

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