2. 考研
  3. 设口为实n维非零列向量，αT表示α的转置．(1)证明：A—E一为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)T，试求出矩阵A；(3)若β为n维列向量，试证明：Aβ=β—(bc)α，其中，b、c为实常数．

设口为实n维非零列向量，αT表示α的转置．(1)证明：A—E一为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)T，试求出矩阵A；(3)若β为n维列向量，试证明：Aβ=β—(bc)α，其中，b、c为实常数．

admin2018-07-31  79
问题 设口为实n维非零列向量，αT表示α的转置．(1)证明：A—E一为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)T，试求出矩阵A；(3)若β为n维列向量，试证明：Aβ=β—(bc)α，其中，b、c为实常数．
选项
答案记常数b=[*]，则b＞0，A=E—bααT． (1)AT=(E—bααT)T=E—bααT=A，所以A为对称矩阵．AAT=AA=(E—bααT)(E—bααT)=E一2bααT+b2α(αTα)αT，而αTα=[*]，代入上式得AAT=E，所以A为正交矩阵． (2)αTα=1+4+4=9，ααT=[*]，故 [*] (3)Aβ=(E一bααT)β=β—bα(αTβ)=β一b(αTβ)α=β一(bc)α，其中常数c=αTβ．
解析
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考研数学一

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