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设口为实n维非零列向量,αT表示α的转置.(1)证明:A—E一为对称的正交矩阵;(2)若α=(1,2,一2)T,试求出矩阵A;(3)若β为n维列向量,试证明:Aβ=β—(bc)α,其中,b、c为实常数.
设口为实n维非零列向量,αT表示α的转置.(1)证明:A—E一为对称的正交矩阵;(2)若α=(1,2,一2)T,试求出矩阵A;(3)若β为n维列向量,试证明:Aβ=β—(bc)α,其中,b、c为实常数.
admin
2018-07-31
67
问题
设口为实n维非零列向量,α
T
表示α的转置.(1)证明:A—E一
为对称的正交矩阵;(2)若α=(1,2,一2)
T
,试求出矩阵A;(3)若β为n维列向量,试证明:Aβ=β—(bc)α,其中,b、c为实常数.
选项
答案
记常数b=[*],则b>0,A=E—bαα
T
. (1)A
T
=(E—bαα
T
)
T
=E—bαα
T
=A,所以A为对称矩阵.AA
T
=AA=(E—bαα
T
)(E—bαα
T
)=E一2bαα
T
+b
2
α(α
T
α)α
T
,而α
T
α=[*],代入上式得AA
T
=E,所以A为正交矩阵. (2)α
T
α=1+4+4=9,αα
T
=[*],故 [*] (3)Aβ=(E一bαα
T
)β=β—bα(α
T
β)=β一b(α
T
β)α=β一(bc)α,其中常数c=α
T
β.
解析
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考研数学一
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