已知二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，A是3阶实对称矩阵，满足A2－2A－3E＝O，且｜A｜＝3，则该二次型的规范形为( )

admin2022-06-09 83

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^TAx，A是3阶实对称矩阵，满足A²－2A－3E＝O，且｜A｜＝3，则该二次型的规范形为( )

选项 A、y₁²－y₂²－y₃²
B、y₁²＋y₂²－y₃²
C、y₁²＋y₂²＋y₃²
D、－y₁²－y₂²－y₃²

答案A

解析先求A的特征值，再确定二次型的正、负惯性指数，设Aa＝λa，λ为A的任一特征值，a(a≠0)为其特征向量，则由已知，有
(A²－2A－3E)a＝0
即(λ²－2λ－3)a＝0，故λ²－2λ－3＝0，解得λ＝3或λ＝－1，由｜A｜＝3，知A的特征值为3，－1，－1，故正惯性指数P＝1，负惯性指数q＝2，规范形为y₁²－y₂²－y₃2²

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