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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，A是3阶实对称矩阵，满足A2－2A－3E＝O，且｜A｜＝3，则该二次型的规范形为( )

已知二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，A是3阶实对称矩阵，满足A2－2A－3E＝O，且｜A｜＝3，则该二次型的规范形为( )

admin2022-06-09  117
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，A是3阶实对称矩阵，满足A2－2A－3E＝O，且｜A｜＝3，则该二次型的规范形为(          )
选项 A、y12－y22－y32   
B、y12＋y22－y32
C、y12＋y22＋y32   
D、－y12－y22－y32
答案A
解析 先求A的特征值，再确定二次型的正、负惯性指数，设Aa＝λa，λ为A的任一特征值，a(a≠0)为其特征向量，则由已知，有
(A2－2A－3E)a＝0
即(λ2－2λ－3)a＝0，故λ2－2λ－3＝0，解得λ＝3或λ＝－1，由｜A｜＝3，知A的特征值为3，－1，－1，故正惯性指数P＝1，负惯性指数q＝2，规范形为y12－y22－y322
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考研数学二

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