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  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

admin2015-08-17  52
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．
选项
答案axex
解析 由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．

令△x→0，得 f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得f(x)=ex(∫aex.e-xdx+C)=ex(ax+C)因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axex，如上所填．
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考研数学一

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