设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

admin2019-12-26  16

问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

选项

答案由Aα11α1知 Bα1=(A5-4A3+E)α1 =(λ1-4λ1+1)α1=-2α1, 故α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量. 类似,矩阵B的其他两个特征值为λi5-4λi3+1(i=2,3).所以B的全部特征值为-2,1,1. 因为A是实对称矩阵,故B也是实对称的.若设(x1,x2,x3)T为B的属于特征值1的特征向量,则必有(x1, x2,x31=0,即(x1,x2,x3)T与α1正交.所以有 x1-x2+x3=0, 解此方程得其基础解系为α2=(1,1,0)T,α3=(-1,0,1)T.故矩阵B的属于特征值-2的全部特征向量为k1α1(k1为不等于零的任意常数);属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2,k3是不全为零的任意常数).

解析
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