2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2019-12-26  27
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案由Aα1=λ1α1知 Bα1=(A5－4A3+E)α1 =(λ1－4λ1+1)α1=－2α1， 故α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量． 类似，矩阵B的其他两个特征值为λi5－4λi3+1(i=2，3)．所以B的全部特征值为－2，1，1． 因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1， x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有 x1－x2+x3=0， 解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(－1，0，1)T．故矩阵B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1(k1为不等于零的任意常数)；属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2，k3是不全为零的任意常数)．
解析
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考研数学三

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