设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．

admin2016-10-26 52

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使P^－1AP=A．

选项

答案(I)由已知条件有 A(α₁，α₂，α₃) =(α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 记P₁=(α₁，α₂，α₃)，B=[*]，则有AP₁=P₁B．因为α₁，α₂，α₃线性无关，矩阵P₁可逆，所以[*]AP₁=B，即矩阵A与B相似．由 [*] 知矩阵b的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值是1，1，4． (Ⅱ)对矩阵b，由(E一B)x=0，得λ=1的特征向量β₁=(一1，1，0)^T， β₂=(一2，0，1)^T；由(4E—b)x=0，得λ=4的特征向量β₃=(0，1，1)^T．那么令P₂=(β₁，β₂，β₃)=[*] 于是 [*] 故当P=P₁P₂=(α₁，α₂，α₃)[*]=(一α₁+α₂，一2α₁+α₃，α₂+α₃)时， P^－1AP=A=[*]

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．

考研数学一

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，证明存在ε∈(a，b)使得[f(b)－f(a)]gˊ(ε)＝[g(b)－g(a)]fˊ(ε)

证明：f(x)＝x3+px2+qx+r(p，q，r为常数)至少有一个零值点．

(1)设f(x)在R上有定义，证明：y＝f(x)的图形关于直线x＝1对称的充要条件是f(x)满足f(x+1)＝f(1－x)，x∈R(2)设f(x)在R上有定义，且y＝f(x)的图形关于直线x＝1与直线x＝2对称，证明：f(x)是周期函数，并求f(x

用集合运算律证明：

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设矩阵，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则丨B丨=__________.

设A是m×n矩阵，B是，n×m矩阵，则

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?

设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩r(A)≤2；

参加重庆谈判的中共领导是()

患儿，女，8岁。发热2周人院。查体：T38℃，P100次／分，咽充血，心肺无异常，双足背见两处环形红斑。Hb100g／L，WBC13．6×109／L，N0．82，L0．17，ESR50mm／h，CRP增高，ASO阳性，PPD(－)，心电图

若甲因偷税罪被判处有期徒刑4年，则()对甲不适用。根据本案，对甲的量刑情节还有()。

孙某与甲公司签订了为期3年的劳动合同，月工资1200元(当地最低月工资标准为8（）0元)。期满终止合同时，甲公司未向孙某提出以不低于原工资标准续订劳动合同意向，甲公司应向孙某支付的经济补偿金额为（）。

岩石：建材：家具

通过一系列实验，斯腾伯格从反应时变化上确定了对提取过程有独立作用的因素分别是()。

[*]

Howdidhesucceedaccordingtohimself?

Corporationsasagroupofferavarietyofjobs.Mostlargecompaniessendpeopletocollegestointerviewgraduatingstudentsw

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设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

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设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则丨B丨=__________.

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?

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设矩阵，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则丨B丨=__________.