设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．

admin2016-10-26 73

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使P^－1AP=A．

选项

答案(I)由已知条件有 A(α₁，α₂，α₃) =(α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 记P₁=(α₁，α₂，α₃)，B=[*]，则有AP₁=P₁B．因为α₁，α₂，α₃线性无关，矩阵P₁可逆，所以[*]AP₁=B，即矩阵A与B相似．由 [*] 知矩阵b的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值是1，1，4． (Ⅱ)对矩阵b，由(E一B)x=0，得λ=1的特征向量β₁=(一1，1，0)^T， β₂=(一2，0，1)^T；由(4E—b)x=0，得λ=4的特征向量β₃=(0，1，1)^T．那么令P₂=(β₁，β₂，β₃)=[*] 于是 [*] 故当P=P₁P₂=(α₁，α₂，α₃)[*]=(一α₁+α₂，一2α₁+α₃，α₂+α₃)时， P^－1AP=A=[*]

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．

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