设流速V=(x2+y2)j+(z-1)k,求下列情形流体穿过曲面∑的体积流量Q(如图9.69): (Ⅰ)∑为圆锥面x2+y2=z2(0≤z≤1),取下侧; (Ⅱ)∑为圆锥体(z2≥x2+y2,0≤z≤1)的底面,法向量朝上.

admin2016-10-26  47

问题 设流速V=(x2+y2)j+(z-1)k,求下列情形流体穿过曲面∑的体积流量Q(如图9.69):

(Ⅰ)∑为圆锥面x2+y2=z2(0≤z≤1),取下侧;
(Ⅱ)∑为圆锥体(z2≥x2+y2,0≤z≤1)的底面,法向量朝上.

选项

答案(Ⅰ)首先,用曲面积分表示流量,即 Q=[*](x2+y2)dzdx+(z-1)dxdy. 直接投影到xy平面上代公式求Q. 由∑的方程z=[*],∑在xy平面上的投影区域D: x2+y2≤1(z=0)[*] [*] (Ⅱ)圆锥体(z2≥x2+y2,0≤z≤1)的底面∑即x2+y2≤1,z=1,它垂直于zx平面,在∑上z-1=0,因此 Q=[*](x2+y2)dzdx+(z-1)dxdy=0+0=0.

解析
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