2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα2=α1+α2，试证α1,α2,α3线性无关．

设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα2=α1+α2，试证α1,α2,α3线性无关．

admin2018-08-12  35
问题 设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα2=α1+α2，试证α1,α2,α3线性无关．
选项
答案由Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，得(A—E)α1=0，(A—E)α2=α1，(A—E)α3=α2. 设数λ1，λ2，λ3，使λ1α1+λ2α2+λ3α3=0， (1) 用A—E左乘上式两边，得λ2α1+λ3α2=0． (2) 再用A—E左乘(2)式两边，得λ3α1=0．而α1≠0，于是λ3=0． 代入(1)、(2)，得λ2=0，λ1=0，故α1,α2,α3线性无关．
解析 本题考查向量组线性相关性的概念，是比较典型的证明方法．
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考研数学二

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