2. 考研
  3. (05年)设f(χ)，g(χ)在[0，1]上的导数连续，且f(0)＝0，f′(χ)≥0，g′(χ)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(χ)f′(χ)dχ＋∫01f(χ)g′(χ)dχ≥f(a)g(1)．

(05年)设f(χ)，g(χ)在[0，1]上的导数连续，且f(0)＝0，f′(χ)≥0，g′(χ)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(χ)f′(χ)dχ＋∫01f(χ)g′(χ)dχ≥f(a)g(1)．

admin2017-05-26  28
问题 (05年)设f(χ)，g(χ)在[0，1]上的导数连续，且f(0)＝0，f′(χ)≥0，g′(χ)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有
    ∫0ag(χ)f′(χ)dχ＋∫01f(χ)g′(χ)dχ≥f(a)g(1)．
选项
答案设F(χ)＝∫0χg(t)f′(t)dt＋∫01f(t)g′(t)dt－f(χ)g(1)，χ∈[0，1] 则F(χ)在[0，1]上的导数连续，并且 F′(χ)＝g(χ)f′(χ)－f′(χ)g(1)＝f′(χ)[g(χ)－g(1)] 由于χ∈[0，1]时，f′(χ)≥0，g′(0)≥0，因此F′(χ)≤0，即F(χ)在[0，1]上单调递减． 注意到 F(1)＝∫01g(t)f′(t)dt＋∫01f(t)g′(t)dt＝f(1)g(1) 而 ∫01g(t)f′(t)dt＝∫01g(t)dt(t) ＝g(t)f(t)｜01－∫01f(t)g′(t)dt ＝f(1)g(1)＝∫01f(t)g′(t)dt 故F(1)＝0． 因此χ∈[0，1]时，F(χ)≥0，由此可得对任何a∈[0，1]有 ∫g(χ)f′(χ)dχ＋∫f(χ)g′(χ)出≥f(a)g(1)
解析
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考研数学三

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