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设A,B是3阶矩阵,α和β是3维非零列向量,已知A~B,且∣B∣=0,Aα=β,Aβ=α,则∣A+4B+2AB+2E∣=________.
设A,B是3阶矩阵,α和β是3维非零列向量,已知A~B,且∣B∣=0,Aα=β,Aβ=α,则∣A+4B+2AB+2E∣=________.
admin
2022-03-14
23
问题
设A,B是3阶矩阵,α和β是3维非零列向量,已知A~B,且∣B∣=0,Aα=β,Aβ=α,则∣A+4B+2AB+2E∣=________.
选项
答案
-18
解析
已知Aα=β,Aβ=α,则有
A(α+β)=α+β,A(α-β)=-(α-β)
故A有特征值λ
1
=1,λ
2
=-1,由|B|=0,故B有特征值λ
3
=0
因A~B,则A,B具有相同的特征值1,,1,0,即A~B~
因|A+4B+2AB+2E|=|A(E+2B)+2(E+2B)|=|(A+2E)(E+2B)|
=|A+2E|E+2B|
又A+2E有特征值3,1,2,则|A+2E|=6
E+2B有特征值3,-1,1,则|E+2B|=-3
故∣A+4B+2AB+2E∣=6×(-3)=-18
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考研数学三
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