设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为

admin2019-07-12  34

问题 设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案C

解析 首先,由是Ax=β的一个特解;其次,由解的性质或直接验证,知η2一η1及η3一η1均为方程组Ax=0的解,再次,由η1,η2,η3线性无关,利用线性无关的定义,或由[η2一η1,η3一η1]=[η1,η2,η3]及矩阵的秩为2,知向量组η2一η1,η3一η1线性无关,因此,方程组Ax=0至少有2个线性无关的解,但它不可能有3个线性无关的解(否则,3一r(A)=3,

这与Aη1=β≠0矛盾),于是η2一η1,η3一η1可作为Ax=0的基础解系,Ax=0的通解为k12一η1)+k23一η1),再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项(C)正确。
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