2. 考研
  3. 设a1＜a2＜…＜an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导，c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0,证明： 存在ξ∈（a1,an）,使得

设a1＜a2＜…＜an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导，c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0,证明： 存在ξ∈（a1,an）,使得

admin2021-11-25  59
问题 设a1＜a2＜…＜an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导，c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0,证明：
存在ξ∈（a1,an）,使得
选项
答案当c=ai(i=1,2,..,n)时，对任意的ξ∈（a1,an),结论成立； 设c为异于a1,a2,..,an的数，不妨设a1＜c＜a2＜...an 令[*] 构造辅助函数ψ(x)=f(x)－k(x－a1)(x－a2)…(x－an),显然ψ(x)在[a1,an]上n阶可导，且ψ（a1）=ψ（c)=ψ(a2)=...=ψ(an)=0 由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1,c),ξ2(1)∈(c,a2),....,ξn(1)∈(an-1,an),使得ψ’(ξ1(1))=ψ’(ξ2(1))=...=ψ’(ξn(1))=0,ψ’(x)在（a1,an)内至少有n个不同的零点，重复使用罗尔定理，则ψ(n-1)(x)在（a1,an)内至少有两个不同的零点，设为c1,c2∈（a1,an),使得 ψ(n-1)(c1)=ψ(n-1)(c2)=0 再由罗尔定理，存在ξ∈（c1,c2)[*]（a1,an)，使得ψ(n)(ξ)=0 而ψ(n)(x)=f(n)(x)－n!k,所以f(n)(ξ)=n!k，从而有 [*]
解析
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考研数学二

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