设a1<a2<…<an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导,c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0,证明: 存在ξ∈(a1,an),使得

admin2021-11-25  37

问题 设a1<a2<…<an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导,c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0,证明:
存在ξ∈(a1,an),使得

选项

答案当c=ai(i=1,2,..,n)时,对任意的ξ∈(a1,an),结论成立; 设c为异于a1,a2,..,an的数,不妨设a1<c<a2<...an 令[*] 构造辅助函数ψ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an),显然ψ(x)在[a1,an]上n阶可导,且ψ(a1)=ψ(c)=ψ(a2)=...=ψ(an)=0 由罗尔定理,存在ξ1(1)∈(a1,c),ξ2(1)∈(c,a2),....,ξn(1)∈(an-1,an),使得ψ’(ξ1(1))=ψ’(ξ2(1))=...=ψ’(ξn(1))=0,ψ’(x)在(a1,an)内至少有n个不同的零点,重复使用罗尔定理,则ψ(n-1)(x)在(a1,an)内至少有两个不同的零点,设为c1,c2∈(a1,an),使得 ψ(n-1)(c1)=ψ(n-1)(c2)=0 再由罗尔定理,存在ξ∈(c1,c2)[*](a1,an),使得ψ(n)(ξ)=0 而ψ(n)(x)=f(n)(x)-n!k,所以f(n)(ξ)=n!k,从而有 [*]

解析
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