设x=eacosv，y=eusinv，z=uv．试求

admin2021-02-25 41

问题设x=e^acosv，y=e^usinv，z=uv．试求

选项

答案解法1：把x，y看成中间变量，u，v看成自变量，由复合函数的偏导数的求导法则，得 [*] 即 [*] [*] 解得 [*] 解法2：对给定的三个方程分别求全微分，得 dx=e^ucosvdu-e^usinvdv， dy=e^usinvdu+e^ucosvdv， dz=vdu+udv．由前两个方程可得 du=e^-u(cosvdx+sinvdy)，dv=e^-u(-sinvdx+cosvdy)．代八第三个方程得 dz=ve^-u(cosvdx+sinvdy)+ue^-u(-sinvdx+cosvdy) =e^-u(vcosv-usinv)dx+e^-u(vsinv+ucosv)dy．故 [*]

解析考查复合函数求偏导数的方法．对复合函数求偏导数时，应先明确函数的结构，确定哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，哪些变量是因变量．再利用公式或通过求全微分进行求解．

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