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设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x);
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x);
admin
2019-07-22
56
问题
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一
∫
0
x
f(t)dt=0。
求导数f’(x);
选项
答案
由题设知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫
0
x
f(t)dt=0。 上式两边对x求导,得 (x+1)f’(x)=一(x+2)f’(x), 即有[*] 两边积分,得 ln|f’(x)|=一x一ln(x+1)+C
1
, 所以[*] 在题设等式中令x=0,得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1,于是f’(0)=一1,代入f’(x)的表达式,得C=一1,故有 [*]
解析
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考研数学二
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