设矩阵A=相似于对角矩阵．求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

admin2018-08-03 103

问题设矩阵A=

相似于对角矩阵．
求一个正交变换，将二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx化为标准形，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T．

选项

答案f=x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx=[*](x^TAx+x^TA^Tx)=x^T[*]=B，计算可得B的特征值为λ₁=6，λ₂=一3，λ₃=7，对应的特征向量分别可取为ξ₁=(0，0，1)^T．ξ₂=(1．一1，0)^T，ξ₃=(1，1，0)^T，故有正交矩阵 [*] 使得P^—1BP=P^TBP=diag(6，一3，7)．所以，在正交变换(x₁，x₂，x₃)^T=P(y₁，y₂，y₃)^T下，可化f成标准形f=6y₁²—3y₂²+7y₃²．

解析

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考研数学一

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