[2014年] 设∑为曲面z=x2+y2(x≤1)的上侧，计算曲面积分 I=(x一1)3dydz+(y一1)2dzdx+(z一1)dxdy．

admin2019-04-08 63

问题 [2014年] 设∑为曲面z=x²+y²(x≤1)的上侧，计算曲面积分
I=

(x一1)³dydz+(y一1)²dzdx+(z一1)dxdy．

选项

答案因∑非闭，补∑₁：平面z=1被z=x²+y²所截部分下侧，得到 [*] 因∑₁：z=1(x²+y²≤1)取下侧，∑和∑₁围成的几何体为Ω，由高斯公式得到 [*] ∑和∑₁所围立体Ω关于yOz平面及zOx平面对称，故[*]，而 [*] 因补加的曲面∑₁为平行于坐标面xOy的平面，且z=1为常数，故dzdx=0，dzdy=0．于是 [*] 故 [*]

解析

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考研数学一

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