[2014年] 设∑为曲面z=x2+y2(x≤1)的上侧,计算曲面积分 I=(x一1)3dydz+(y一1)2dzdx+(z一1)dxdy.

admin2019-04-08  28

问题 [2014年]  设∑为曲面z=x2+y2(x≤1)的上侧,计算曲面积分
I=(x一1)3dydz+(y一1)2dzdx+(z一1)dxdy.

选项

答案因∑非闭,补∑1:平面z=1被z=x2+y2所截部分下侧,得到 [*] 因∑1:z=1(x2+y2≤1)取下侧,∑和∑1围成的几何体为Ω,由高斯公式得到 [*] ∑和∑1所围立体Ω关于yOz平面及zOx平面对称,故[*],而 [*] 因补加的曲面∑1为平行于坐标面xOy的平面,且z=1为常数,故dzdx=0,dzdy=0.于是 [*] 故 [*]

解析
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