为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．已知井深30 m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，提升速度为3 m／s，在提升过程中，污泥以20 N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升到井口

admin2015-09-10 79

问题为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．已知井深30 m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，提升速度为3 m／s，在提升过程中，污泥以20 N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明：①1 N×l m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

选项

答案作x轴如图2．6．将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 ω=ω₁+ω₂+ω₃ 其中ω₁是克服抓斗自重作的功，ω₂是克服缆绳重量所作的功；ω₃是提出污泥所作的功．由题设可知 ω₁=400×30=12 000 dω₂=50(30一x)dx 从而[*] 在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为 dω₃=3(2 000—20t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间[*]，所以 [*] 则共需作功 ω=12 000+22 500+57 000=91 500(J) [*]

解析

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考研数学一

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