设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

admin2015-06-30 51

问题设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=

x²f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

选项

答案令φ(x)=x²f(x)，由积分中值定理得f(1)=[*]x²f(x)dx=c²f(c)，其中c∈[0，[*]]，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x²f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ²f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

解析

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