设A=,问a,x为何值时,A相似于对角矩阵,a,x为何值时,A不能相似于对角矩阵,说明理由。

admin2022-03-14  59

问题 设A=,问a,x为何值时,A相似于对角矩阵,a,x为何值时,A不能相似于对角矩阵,说明理由。

选项

答案由|λE-A|=[*]=(λ-a)[λ(λ-2)-3]=(λ-a)(λ-3)(λ+1) 知A有特征值λ1=a,λ2=3,λ3=-1 ①当a≠3且a≠-1时,不论x取何值,A有三个互不相同的特征值,故A能相似于对角矩阵,且A~[*] ②当a=3时,A有特征值λ12=3,λ3=-1 当λ12=3时, [*] 当a=3且x=2时,r(3E-A)=1,则A对应的λ12=3有两个线性无关的特征向量,故A能相似于对角矩阵,且A~[*] 当a=3且x≠2时,r(3E-A)=2,则A对应的λ12=3只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似于对角矩阵。 ③当a=-1时,A有特征值λ2=3,λ13=-1 当λ13=-1时, [*] 当a=-1且x=-6时,r(-E-A)=1,则A对应λ13=-1有两个线性无关的特征向量,故A能相似于对角矩阵,且A~[*] 当a=-1且x≠-6时,r(-E-A)=2,则A对应λ13=-1有一个线性无关的特征向量,故A不能相似于对角矩阵。

解析
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