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  3. 设A=,问a,x为何值时,A相似于对角矩阵，a,x为何值时，A不能相似于对角矩阵，说明理由。

设A=,问a,x为何值时,A相似于对角矩阵，a,x为何值时，A不能相似于对角矩阵，说明理由。

admin2022-03-14  77
问题 设A=,问a,x为何值时,A相似于对角矩阵，a,x为何值时，A不能相似于对角矩阵，说明理由。
选项
答案由｜λE－A｜=[*]=(λ－a)[λ(λ－2)－3]=(λ－a)(λ－3)(λ+1) 知A有特征值λ1=a,λ2=3，λ3=－1 ①当a≠3且a≠－1时，不论x取何值，A有三个互不相同的特征值，故A能相似于对角矩阵，且A～[*] ②当a=3时，A有特征值λ1=λ2=3，λ3=－1 当λ1=λ2=3时， [*] 当a=3且x=2时，r(3E－A)=1,则A对应的λ1=λ2=3有两个线性无关的特征向量，故A能相似于对角矩阵，且A～[*] 当a=3且x≠2时，r(3E－A)=2,则A对应的λ1=λ2=3只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似于对角矩阵。 ③当a=－1时，A有特征值λ2=3，λ1=λ3=－1 当λ1=λ3=－1时， [*] 当a=－1且x=－6时，r(－E－A)=1,则A对应λ1=λ3=－1有两个线性无关的特征向量，故A能相似于对角矩阵，且A～[*] 当a=－1且x≠－6时，r(－E－A)=2,则A对应λ1=λ3=－1有一个线性无关的特征向量，故A不能相似于对角矩阵。
解析
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考研数学三

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