2. 考研
  3. 设函数f(x)在(a,+∞)内有二阶导数，且f(a+1)=0,,,求证在(a,+∞)内至少有一点，使得f"(ε)=0.

设函数f(x)在(a,+∞)内有二阶导数，且f(a+1)=0,,,求证在(a,+∞)内至少有一点，使得f"(ε)=0.

admin2022-03-14  82
问题 设函数f(x)在(a,+∞)内有二阶导数，且f(a+1)=0,,,求证在(a,+∞)内至少有一点，使得f"(ε)=0.
选项
答案已知f(a+1)=0，若在（a+1,+∞)[*](a,+∞)内，f(x)≠0,则至少存在x1∈（a+1,+∞),使得f(x1）≠0. 不妨设f(x1）＞0，由于f(a+1)=0,[*],又曲线y=f(x)在（a,+∞)内连续，则曲线上在点(x1，f(x1)）左右曲线皆有下降接近零处。 在x1左，存在x2，满足当a+1＜x2＜x1时，有f(x2）＜f(x1），在x1右，存在x3，满足当x1＜x3＜+∞时，有f(x3）＜f(x1），于是拉格朗日中值定理： 存在ξ1∈（x1，x2），使得f’(ξ1）=[*] 存在ξ2∈（x1，x3），使得f’(ξ2）=[*] 由于f(x)二阶可导，所以f’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，故存在ξ3∈（ξ1，ξ2），使得f’(ξ3）=0 补充定义f(a)=0,又知道f(a+1)=0,所以f(x)在[a,a+1]上满足罗尔定理条件。 于是存在ξ4∈（a,a+1)，使得f’(ξ4)=0 因此，导函数f’(x)在区间[ξ4，ξ3]上仍满足罗尔定理条件，故存在ξ∈（ξ4，ξ3）[*](a,+∞)，使得f"(ξ)=0.
解析
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考研数学三

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