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设函数f(x)在(a,+∞)内有二阶导数,且f(a+1)=0,,,求证在(a,+∞)内至少有一点,使得f"(ε)=0.
设函数f(x)在(a,+∞)内有二阶导数,且f(a+1)=0,,,求证在(a,+∞)内至少有一点,使得f"(ε)=0.
admin
2022-03-14
118
问题
设函数f(x)在(a,+∞)内有二阶导数,且f(a+1)=0,
,
,求证在(a,+∞)内至少有一点,使得f"(ε)=0.
选项
答案
已知f(a+1)=0,若在(a+1,+∞)[*](a,+∞)内,f(x)≠0,则至少存在x
1
∈(a+1,+∞),使得f(x
1
)≠0. 不妨设f(x
1
)>0,由于f(a+1)=0,[*],又曲线y=f(x)在(a,+∞)内连续,则曲线上在点(x
1
,f(x
1
))左右曲线皆有下降接近零处。 在x
1
左,存在x
2
,满足当a+1<x
2
<x
1
时,有f(x
2
)<f(x
1
),在x
1
右,存在x
3
,满足当x
1
<x
3
<+∞时,有f(x
3
)<f(x
1
),于是拉格朗日中值定理: 存在ξ
1
∈(x
1
,x
2
),使得f’(ξ
1
)=[*] 存在ξ
2
∈(x
1
,x
3
),使得f’(ξ
2
)=[*] 由于f(x)二阶可导,所以f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,故存在ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
),使得f’(ξ
3
)=0 补充定义f(a)=0,又知道f(a+1)=0,所以f(x)在[a,a+1]上满足罗尔定理条件。 于是存在ξ
4
∈(a,a+1),使得f’(ξ
4
)=0 因此,导函数f’(x)在区间[ξ
4
,ξ
3
]上仍满足罗尔定理条件,故存在ξ∈(ξ
4
,ξ
3
)[*](a,+∞),使得f"(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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