设f(x)连续，且满足　　f(x)=(x一π)2一∫0x—πtf(x一t)dt，求f(x)．

admin2020-06-11 101

问题设f(x)连续，且满足
　　f(x)=(x一π)²一∫₀^x—πtf(x一t)dt，求f(x)．

选项

答案这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形，令s=x一t得 f(x)=(x一π)²一∫_π^xf(x一s)f(s)ds，即 f(x)=(x一π)²一x∫_π^xf(x)ds+∫_π^xsf(s)ds． ① 现把它转化成微分方程问题．①式两边求导得 f’(x)=2(x一π)一∫_π^xf(s)ds． ② 又①式中令x=π得f(π)=0．再对②求导得f"(x)+f(x)=2．在②中令x=π得f’(π)=0．于是问题转化为求解初值问题[*]其中y=f(x). 这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y^*=2，于是通解为 y=C₁cosx+C₂sinx+2．由 [*] 解得C₁=2，C₂=0．因此 y=f(x)=2cosx+2．

解析

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考研数学二

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η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：η，η+ξ1，…，η+ξn—r，线性无关。

设0＜a＜b，证明：

已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC－B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

设A是三阶方阵，α1,α2,α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。A是否可对角化?

设A是三阶方阵，α1,α2,α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。求A的全部特征值；

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)。证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

设非齐次线性微分方程yˊ＋p(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．

设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0．(Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使(Ⅱ)求极限

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