2. 考研
  3. 设f(x)连续，且满足 　　f(x)=(x一π)2一∫0x—πtf(x一t)dt，求f(x)．

设f(x)连续，且满足 　　f(x)=(x一π)2一∫0x—πtf(x一t)dt，求f(x)．

admin2020-06-11  113
问题 设f(x)连续，且满足
　　f(x)=(x一π)2一∫0x—πtf(x一t)dt，求f(x)．
选项
答案这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为 被积函数不含参变量的情形，令s=x一t得 f(x)=(x一π)2一∫πxf(x一s)f(s)ds， 即 f(x)=(x一π)2一x∫πxf(x)ds+∫πxsf(s)ds． ① 现把它转化成微分方程问题．①式两边求导得 f’(x)=2(x一π)一∫πxf(s)ds． ② 又①式中令x=π得f(π)=0． 再对②求导得f"(x)+f(x)=2． 在②中令x=π得f’(π)=0． 于是问题转化为求解初值问题[*]其中y=f(x). 这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx+2． 由 [*] 解得C1=2，C2=0． 因此 y=f(x)=2cosx+2．
解析
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考研数学二

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