设α是n维非零列向量，矩阵A=E-ααT．证明：(1)A2=A的充要条件是αTα=1；(2)当αTα=1时，A不可逆．

admin2019-03-21 68

问题设α是n维非零列向量，矩阵A=E-αα^T．证明：(1)A²=A的充要条件是α^Tα=1；(2)当α^Tα=1时，A不可逆．

选项

答案(1)A²=A[*](E-αα^T)(E-αα^T)=E-αα^T[*]E-2αα^T+α(α^Tα)α^T=E-αα^T[*](α^Tα-1)αα^T=0(注意αα^T≠0)[*]α^Tα=1． (2)当α^Tα=1时．A²=A，若A可逆，用A^-1左乘A²=A两端，得A=E，代入A的定义式，得αα^T=O，这与αα^T≠O矛盾．

解析

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