以下4个命题，正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续， ③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，则

admin2017-05-16 45

问题以下4个命题，正确的个数为 ( )
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫_-∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，

③若∫_-∞^+∞f(x)dx与∫_-∞^+∞g(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；
④若∫_-∞^+∞f(x)dx与∫₀^+∞f(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞f(x)dx未必发散．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案A

解析 ∫_-∞^+∞f(x)dx收敛存在常数a，使∫_-∞^af(x)dx和∫_a^+∞f(x)dx都收敛，此时 ∫_-∞^+∞f(x)dx=∫_-∞^af(x)dx+∫_a^+∞f(x)dx．设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且

但是 ∫_-∞⁰f(x)dx=∫_-∞⁰xdx=∞，∫₀^+∞f(x)dx=∫₀^+∞xdx=∞，故∫_-∞^+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫_-∞^+∞f(x)dx与∫_-∞^+∞g(x)dx都发散，但∫_-∞^+∞(f(x)+g(x))dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．

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考研数学二

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