(2004年试题，三)设e

admin2013-12-27 33

问题 (2004年试题，三)设e2，证明

选项

答案由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数[*]显然当x>e时f^’’(x)<0，即f^’(x)严格单调递减，所以f^’(x)>f^’(e²)=0，从而，(x)严格单调递增，即f(a)<(b)，[*]，所以[*]证毕．解析二本题也可应用拉格朗日中值定理来证明．设g(x)=In²x，在[a，b]上由拉格朗口中值定理知：存在一点ξ∈(a，b)，使得g(b)一g(a)=g^’(ξ)(b一a)，即In²b一In²a=[*](b一a)又设[*]，则[*]，当x>e时φ^’(x)<0，即φ(x)严格单调递减，也即当e2时[*]综上知[*]，所以ln²b—ln²a=[*]即In²b—In²a[*]

解析

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