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设f(x)在[A,B]上连续,A<a<b<B,求证:
设f(x)在[A,B]上连续,A<a<b<B,求证:
admin
2018-06-14
47
问题
设f(x)在[A,B]上连续,A<a<b<B,求证:
选项
答案
当x∈[a,b],|h|充分小时,x+h∈[A,B],因而f(x+h)一f(x)在[a,b]上连续.对 ∫
a
b
f(x+h)dx作积分变量替换,则有 ∫
a
b
[f(x+h)一f(x)]dx[*]∫
a+h
b+h
f(t)dt一∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b+h
f(t)dt一∫
a
a+h
f(t)dt. 由于上式每一项对h可导且h→0时均趋于零.因此,由洛必达法则有 [*]
解析
下面的证法对吗?
左端=∫
a
b
=∫
a
b
f’(x)dx=f(b)一f(a)=右端.
不对!错在哪里?错在:1°把极限运算移进积分号内(即交换积分与极限运算的顺序)没有根据;2°题设中没有假设f(x)可导,因此得不到
正确证法应该是通过变量替换把∫
a
b
[f(x+h)一f(x)]dx转化为变限积分,然后用洛必达法则求
型极限.
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考研数学三
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