2. 考研
  3. 设y＝f(x)＝． (I)讨论函数f(x)的奇偶性、单调性、极值； (Ⅱ)讨论曲线y＝f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据(I)．(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y＝f(x)的大致图形．

设y＝f(x)＝． (I)讨论函数f(x)的奇偶性、单调性、极值； (Ⅱ)讨论曲线y＝f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据(I)．(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y＝f(x)的大致图形．

admin2018-12-21  35
问题 设y＝f(x)＝．
(I)讨论函数f(x)的奇偶性、单调性、极值；
(Ⅱ)讨论曲线y＝f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据(I)．(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y＝f(x)的大致图形．
选项
答案(I)因为二次式x2±x﹢1的判别式(±1)2－4＝－3﹤0，所以x2±x﹢1＞0恒成立，f(x)的定义域为(－∞，﹢∞)． 又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数． [*] f’(x)的分子中两项分别记为a，b，a﹥0，b﹥0，考虑[*] 故0﹤a﹤b．所以当x>[*]时，仍有f’(x)﹤0，从而当0≤x﹤﹢∞时，f’(x)＜0．又f(x)为奇函数， 故当－∞﹤x﹤0时，f’(x)＜0．所以当x∈(－∞，﹢∞)时，均有f’(x)＜0，即f(x)在(－∞，﹢∞)上严格单调减少，f(x)无极值． (Ⅱ)[*] 所以当－∞﹤x﹤0时，曲线y＝f(x)是凸的，当0﹤x﹤﹢∞时，曲线是凹的．点(0，f(0))为拐点．易知无铅直渐近线．考虑水平渐近线： [*] 所以沿x→﹢∞方向有水平渐近线y＝－1．由于f(x)为奇函数，所以沿x→－∞方向有一条水平渐近线y＝1． 大致图形如下 [*]
解析
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考研数学二

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