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(2008年)设f(χ)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线χ=0,χ=t,曲线y=f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f
(2008年)设f(χ)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线χ=0,χ=t,曲线y=f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f
admin
2016-05-30
59
问题
(2008年)设f(χ)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线χ=0,χ=t,曲线y=f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(χ)的表达式.
选项
答案
旋转体的体积V=π∫
0
t
f
2
(χ)dχ,侧面积S=2π∫
0
t
f(χ)[*],由题设条件知 [*] 上式两端对t求导得f
2
(t)=f(t)[*] 即y′=[*]. 由分离变量法解得 [*] 将y(0)=1代入知C=1,故 [*] 于是所求函数为y=f(χ)=[*](e
χ
+e
-χ
).
解析
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考研数学二
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