2. 考研
  3. 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

admin2018-06-14  99
问题 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程(    )的通解．
选项 A、y"一2y’+5y=4cosx一2sinx
B、y"一2y’+5y=4sinx一2cosx
C、y"一5y’+2y=4cosx一2sinx
D、y"一5y’+2y=4sinx一2cosx
答案B
解析 由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，excos2x与e2sin2x是二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay’+by=0两个线性无关的特解．从而特征方程λ2+aλ+b=0的两个特征根应分别是λ1=1+2i，λ2=1—2i，由此可得λ2aλ+b=(λ一1—2i)(λ一1+2i)=(λ—1)2一(2i)2=λ2—2λ+1+4=λ—2λ+5，即a=一2，b=5．
    由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知sinx应是非齐次方程y"一2y’+5y=f(x)的一个特解，故f(x)=(sinx)"一2(sinx)’+5sinx=4sinx一2cosx．
    综合即得所求方程为y"一2y’+5y=4sinx一2cosx．应选B．
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考研数学三

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